Rynek obligacji
Sukcesy stosujących stopy natychmiastowe i terminowe w wycenie obligacji na rynkach światowych skłaniają do próby przeniesienia tych rozwiązań na rodzimy rynek kapitałowy. Trudno porównywać polski rynek obligacji z rynkami państw G7 pod względem wielkości, płynności oraz ilości instrumentów, ale nie oznacza to, że metody nowoczesnej wyceny instrumentów dłużnych (w tym papierów skarbowych) nie mogą być na nim z (mniejszym lub większym) powodzeniem stosowane.
Podstawą rachunku inwestycji jest m.in. stwierdzenie, iż dane przedsięwzięcie finansowe jest warte tyle, ile suma zdyskontowanych płatności (przepływów) z niego wynikających. Wartość ta to oczywiście wartość obecna netto (Net Present Value - NPV). Mówiąc o zdyskontowanych płatnościach, mamy na myśli wartości obecne przepływów, które nastąpią za jakiś czas w przyszłości, a ich wartość wynika z podstawowych wzorów wartości pieniądza w czasie. Znając stopę, którą dyskontujemy, możemy obliczyć obecną wartość inwestycji, czyli w przypadku obligacji - cenę. Odwracając rozumowanie, gdy wiemy, jak rynek wycenia daną obligację, wiemy także, jaką stopę dyskontową zakłada w jej wycenie.W tradycyjnym podejściu do wyceny rynkowej (nie mylić z księgową) papierów skarbowych bazuje się właśnie na pojęciu rentowności do wykupu, zbliżonej z kolei do wewnętrznej stopy zwrotu (Internal Rate of Return - IRR) używanej w rachunku inwestycji.Stopa dyskontowa używana w tej metodzie jest "stała w czasie", zatem nie zależy od tego, czy dany przepływ (płatność kuponowa) z obligacji nastąpi za 2 czy 5 lat. Dodatkowo tradycyjna wycena zakłada reinwestycję pieniędzy otrzymanych w czasie trwania wycenianego przedsięwzięcia po takiej samej stopie, co stopa dyskontowa. Te dwie cechy charakterystyczne stanowią niejako "piętę achillesową" omawianej metody.Na szczęście można próbować podchodzić do wyceny papierów w inny sposób, omijając wyżej opisane mankamenty. Podstawową różnicą jest używanie do dyskontowania właściwych danemu okresowi stóp (bardzo często różnych od siebie) wynikających ze struktury czasowej - tzw. krzywej stóp natychmiastowych. W ten sposób omija się mało realne założenie co do stałości stóp w okresie trwania inwestycji. Centralnym pojęciem w nowym podejściu do wyceny papierów jest stopa natychmiastowa (SPOT), czyli realna lub implikowana stopa zwrotu z obligacji o jednym przepływie gotówkowym, stanowiącym wartość nominalną tego instrumentu. Dla przykładu, gdyby istniała w Polsce zerokuponowa (bezkuponowa) dwuletnia obligacja rządowa, to jej stopa zwrotu byłaby równa stopie natychmiastowej dla instrumentów dwuletnich.Zazwyczaj stopa SPOT podawana jest dla okresów będących wielokrotnością roku, rzadziej - połowy roku (czyli dla 1 roku, 2 lat, 3 lat itd. lub 0,5 roku, 1 rok, 1,5 roku itd.). Jeżeli stopa SPOT odnosi się do inwestycji o długości powyżej 1 roku, to należy pamiętać, że podlega ona kapitalizacji zawsze po upływie pełnego roku od początku inwestycji. Natomiast dla krót-szych okresów (poniżej 1 roku) stopy natychmiastowe nie zakładają kapitalizacji, ale podawane są w skali roku (p.a.).Omawiane stopy nie są bezpośrednio dostępne w polskiej prasie czy serwisach informacyjnych, a ich poznanie wymaga wykonania wielu obliczeń. Artykuł w dużej mierze odpowie na pytanie, jak to zrobić "domowym sposobem".Krótkie stopy SPOT (do roku) można wyliczyć używając w tym celu rentowności bonów skarbowych na rynku wtórnym lub pierwotnym. Załóżmy, iż rentowność bonu półrocznego wynosi 12%, a rocznego 11,5%. Z tego wynika, że ich ceny za 100 zł wartości nominalnej wynoszą 94,28 i 89,58. Korzystając ze wzoru 1, obliczamy SPOT(0,5) = 12,13% oraz SPOT(1) = 11,63%.Wzór 1gdzie:k - czas do zapadalności (np. 0,25 dla 3 miesięcy, 0,5 dla 6 miesięcy)NOM - nominał (najczęściej 100, jako że cena podawana jest w jednostkach za 100 jednostek nominału);PRC - cena za odpowiednią ilość jednostek nominału (najczęściej 100).Obliczone stopy natychmiastowe dla bonów skarbowych różnią sięd ich stóp rentowności z powodu różnych baz liczenia "odsetek". Rentowność bonu liczymy według formuły ACT/360 (czyli rzeczywista ilość dni/360), a stopy SPOT wyznaczaliśmy stosując ułamki roku - 1/2 dla bonu półrocznego oraz 1/1 - dla rocznego.Problem pojawia się w przypadku konieczności obliczenia dłuższych stóp natychmiastowych, ponieważ w polskich realiach rynku kapitałowego niedostępne są instrumenty zerokuponowe dłuższe niż jeden rok, które bezpośrednio nadają się do obliczeń.Gdyby bowiem było wiadomo, że cena obligacji dyskontowej zapadającej równo za 2 lata od dziś wynosi 80 za 100, to korzystając ze wzoru 2, można byłoby wyliczyć SPOT(2) = 11,80%.Wzór 2gdzie:n - czas do zapadalności (np. 2 dla dwóch lat itp.)NOM - nominał (najczęściej 100, jako że cena podawana jest w jednostkach za 100 jednostek nominału);PRC - cena za odpowiednią ilość jednostek nominału (najczęściej 100).Niestety, w polskich warunkach, aby poznać wartości poszczególnych stóp natychmiastowych (szczególnie: dłuższych niż rok), należy wykonać wiele dość skomplikowanych obliczeń. Zanim jednak zaprezentuję odpowiednie procedury postępowania, dla lepszego zrozumienia mechanizmu w niej zawartego prześledźmy przykład.Przykład 1Załóżmy, że znamy kształt (tzn. poszczególne wartości) krzywej stóp SPOT w Polsce i przedstawia się ona następująco: SPOT(1) = 11,5%, SPOT(2) = 11,0%, SPOT(3) = 10,5%.Szukamy ceny obligacji trzyletniej o stałym oprocentowaniu nominalnym 12% (płatność kuponu - roczna). Posługując się prostym wzorem na wartość bieżącą przy kapitalizacji rocznej, otrzymujemy wartości bieżące poszczególnych przepływów - tzn. trzech kuponów oraz spłaty kapitału na końcu trwania inwestycji.PV(CF1) = 12 : (1 + S1) = 12 : 1,115 = 10,76(pierwszy kupon)PV(CF2) = 12 : (1 + S2) ^2 = 9,74(drugi kupon)PV(CF3) = 112 : (1 + S3) ^3 = 83,01(trzeci kupon razem ze spłatą kapitału)PV(X) - wartość obecna przepływu o wartości nominalnej x określona wzorem:PV(x) = CF : [1 + SPOT(n)] ^ngdzie:CF - przepływ pieniędzy w przyszłości (za "n" lat)n - okres, za jaki nastąpi dany przepływSPOT(n) - stopa natychmiastowa.Suma wartości bieżących wszystkich przepływów to cena brudna obligacji, w tym przypadku równa 103,51. Ponieważ dla omawianej obligacji założono, iż dzień obliczeń to dzień wypłaty kuponu lub początek trwania obligacji, cena brudna (zawierająca odsetki) jest równa cenie czystej (odsetki narosłe wynoszą zero).Wycena obligacji w powyższym przykładzie jest tak dobra, jak dobre były stopy natychmiastowe użyte w obliczeniach.Aby poznać SPOT-y implikowane (wyceniane) przez rynek, co jest niezbędne do wyceny obligacji według nowej metody, należy niejako "odwrócić" rozumowanie przeprowadzone w przykładzie 1. W celu obliczenia SPOT(2) musimy znać SPOT(1) (np. z bonów skarbowych) oraz cenę dwuletniej obligacji o stałym oprocentowaniu. Podobnie, aby wyliczyć SPOT(3) potrzebne będą SPOT(1), SPOT(2) oraz cena obligacji trzyletniej.Metoda ta nazywa się metodą dekompozycji płatności gotówkowych (bootstraping) lub samouzgodnienia, a polega na stopniowym obliczaniu coraz dłuższych stóp SPOT. Zaczynając od najkrótszych stóp, rozbudowujemy swą wiedzę na temat kształtu całej krzywej SPOT. Należy pamiętać, że stopa pięcioletnia SPOT obliczona zgodnie z metodą bootstraping jest zależna od wartości znalezionych wcześniej stóp: czteroletniej, trzyletniej, dwuletniej i rocznej.Ową współzależność stóp obrazuje poniższy przykład:Przykład 2Dostępne są następujące dane (zbliżone do sytuacji na rynku wtórnym 12 lutego 1999):- cena bonu rocznego (zapadalność luty 2000) - 89,28- cena czysta obligacji dwuletniej o oprocentowaniu nominalnym 13% (OS0201) - 102,20- cena czysta obligacji trzyletniej o oprocentowaniu nominalnym 12% (OS0202) - 103,5012 lutego to dzień płatności kuponu z obligacji OS0201 i OS0202, tak więc ceny czyste odzwierciedlają wartość bieżącą wszystkich przyszłych przepływów z danej obligacji.1 krok. Obliczenie rocznej stopy SPOTKorzystając ze wzoru 1, mamy SPOT(1) = 11,63%2 krok. Obliczenie dwuletniej stopy SPOTCena obligacji dwuletniej o kuponie 13% wynosi 102,20, zatem istnieje zależność (cena to przecież suma zdyskontowanych odpowiednimi stopami wartości przepływów):Znając SPOT(1) z kroku pierwszego i wstawiając do powyższego równania, wyliczamy SPOT(2) = 11,71%3 krok. Obliczenie trzyletniej stopy SPOTAnalogicznie, znając SPOT(1), SPOT(2) oraz cenę obligacji trzyletniej mamy:Wstawiając znane wartości i rozwiązując równanie względem trzyletniej stopy natychmiastowej, otrzymamy SPOT(3) = 10,45%Fakt zapadalności kolejnych obligacji w równych odstępach rocznych znacznie ułatwia omawiane obliczenia. Na polskim rynku kapitałowym istnieją obecnie trzy takie "szeregi" obligacji o stałym oprocentowaniu, nadające się do obliczeń implikowanych (czyli założonych przez rynek) stóp natychmiastowych metodą bootstraping:- lutowy (OS0204, OS0203, OS0202, OS0201, OS0200);- czerwcowy (OS0604, OS0603, OS0602, OS0601, OS0600, OS0699);- październikowy (OS1003, OS1002, OS1001, OS1000, OS1099).Gdy już przebrniemy przez żmudne obliczenia, otrzymamy ciąg stóp odpowiadający, dla przykładu, następującym punktom na krzywej: 1 rok, 2 lata, 3 lata. Aby znaleźć wartość stopy SPOT dla okresu 1,5 roku, musimy ekstrapolować tę wartość z dwu otaczających najbliższych wartości stóp. Tak więc, znając SPOT(1) = 12% i SPOT(2) = 11%, możemy liniowo ekstrapolować wartość SPOT(1,5) na poziomie 11,5%. Gdy zatem zechcemy zastosować metodę w praktyce w tak prostej opisanej wyżej formie, możemy natrafić na problemy.Z pomocą przychodzi tu znalezienie w miarę prostej zależności funkcyjnej pomiędzy liczbą lat a wartością stóp natychmiastowych SPOT. Znając tę zależność można obliczyć wartość SPOT dla np. ułamka 1,234 roku, mimo że dane empiryczne zawierały wartości SPOT dla okresów będących np. wielokrotnością połowy roku.Najbliższe rzeczywistości i najdokładniejsze wyniki szacowania całej krzywej implikowanych SPOT-ów w połowie lutego 1999 otrzymamy dzięki następującej procedurze:1. Szacunek punktowya) obliczamy ciąg stóp SPOT [SPOT(1), SPOT(2), SPOT(3), SPOT(4), SPOT(5)], dla szeregu lutowego, korzystając z rentowności rocznego bonu oraz cen czystych obligacji OS0201 do OS0204, korzystając z metody przedstawionej w przykładzie 2;b) obliczamy drugi ciąg stóp SPOT [SPOT(0,33), SPOT(1,33), SPOT(2,33), SPOT(3,33), SPOT(4,33), SPOT(5,33)], używając rentowność bonu czteromiesięcznego z rynku wtórnego (zapadającego w czerwcu 1999) oraz cen brudnych obligacji od OS0600 do OS0604;c) podobnie trzeci ciąg SPOT [SPOT(0,66), SPOT(1,66), SPOT(2,66), SPOT(3,66), SPOT(4,66)] - rentowność ośmiomiesięcznego bonu z rynku wtórnego oraz ceny brudne obligacji OS1000 do OS1003.2. Znalezienie zależności funkcyjnej.Używając danych z pkt. 1 można pokusić się o znalezienie zależności funkcyjnej, próbując tak dobrać parametry funkcji logarytmicznej, wykładniczej, potęgowej czy innej, aby współczynnik determinacji (miara dopasowania funkcji do danych empirycznych) był jak największy - zbliżony do jed-ności. Przy czym, nie należy przesadzać w rozbudowywaniu funkcji, ponieważ wynikiem całej procedury ma być uproszczenie a nie zagmatwanie obliczeń.Wyniki przeprowadzonych obliczeń stóp natychmiastowych (pierwszy punkt procedury) na dzień 12 lutego 1999 na podstawie danych z rynku wtórnego zawiera tabela 1.Próby dopasowania funkcji do całości danych (drugi punkt procedury) dały następujące rezultaty (x - liczba lat, y - stopa natychmiastowa):1) funkcja potęgowa y = 0,1136x(-0,0844);współczynnik determinacji R2 = 0,95012) funkcja logarytmiczna y = -0,0092 × LN(x) + 0,1138;R2 = 0,95613) funkcja wykładnicza y = 0,1192 × e(-0,0412 × x);R2 = 0,90874) wielomian trzeciego stopnia y = -0,0004x3 + 0,0046x2 - 0,0177x + 0,1281;R2 = 0,9752.Przyjmując dokładność dopasowania funkcji do danych empirycznych jako główne kryterium wyboru tej najwłaściwszej, można stwierdzić, iż wielomian trzeciego stopnia daje najlepsze rezultaty.Kłopot jednak w tym, że funkcja ta zupełnie nie nadaje się do szacowania stóp SPOT dla wartości x (czyli czasu) spoza zakresu danych wejściowych (czyli spoza odcinka 0,33 do 5,33).Drugą pod względem dokładności dopasowania jest zależność opisana w pkt. 2 - funkcja logarytmiczna. Dodatkowymi jej atutami są: wyjątkowa przydatność do prognozowania i szacowania stóp dłuższych niż obliczonych empirycznie (np. 7- i 10-letnich) oraz dobre zrozumienie intuicyjne jej kształtu.Lista zalet tak wymodelowanej krzywej SPOT jest trudna do przecenienia:l prostota obliczeń (jedno logarytmowanie, mnożenie i dodawanie);l dla dowolnego terminu można znaleźć odpowiadającą stopę, bez dodatkowej konieczności ekstrapolacji (np. linowej);l łatwo stwierdzić, czy i jak bardzo wartość empiryczna odchyla się od krzywej, czyli określić premię czy dyskonto w stosunku do teoretycznej krzywej SPOT;l zastosowanie do wyceny projektów inwestycyjnych, instrumentów finansowych, gdzie ryzyko jest podobne do długu rządowego lub można je przedstawić jako sumę ryzyka papierów skarbowych oraz pewnej premii;l zastosowanie do wyprowadzenia krzywych FORWARD i wyceny papierów o zmiennym kuponie;Dwie ostatnie kwestie będą przedmiotem rozważań następnej części. Zacznijmy od prostszych, co nie oznacza - mniej ciekawych, zastosowań teoretycznej krzywej SPOT.Przykład zastosowania krzywej stóp SPOTokreślonej funkcyjnie w wycenie obligacji dziesięcioletniejJuż niedługo (być może w połowie br.) na polskim rynku obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu będzie dostępna tzw. dziesięciolatka. Jej obecność znacznie wydłuży krzywą rentowności i co za tym idzie - krzywą stóp natychmiastowych. Każdy zainteresowany kupnem tego papieru uczestnik będzie starał się "odgadnąć" jego dobrą cenę (rentowność). Oczywiście cena rynkowa będzie wynikiem gry popytu i podaży, ale jednak intuicja podpowiada inwestorom, że musi istnieć jakaś wartość odniesienia tej obligacji.Prognoza stóp SPOT z odcinka od 5 do 10 lat dzięki funkcji logarytmicznej (pkt 2) mocno pomaga w oszacowaniu "uczciwej wartości" tego instrumentu. Załóżmy, że stały kupon płacony co roku będzie wynosił 8% (inna wartość kuponu, czyli rocznego stałego przepływu z obligacji, nie zmienia istotnie dalej przeprowadzonych rachunków) oraz że funkcja logarytmiczna z wcześniej oszacowanymi przez nas parametrami nadaje się do tak długich prognoz.Znając wszystkie przepływy oraz potrzebne w ich dyskontowaniu stopy SPOT (patrz: tabela 2), możemy obliczyć ich wartość obecną - 90,88, co odpowiada rentowności 9,45%. Mamy zatem już jakiś punkt odniesienia. Pamiętajmy jednak, że obliczenia oparte są na kształcie krzywej SPOT z połowy lutego br., a do prawdziwej emisji zostało jeszcze trochę czasu.Szacunki takie, jak każde inne, mogą różnić się od wartości obserwowanych z kilku powodów:l można się spodziewać, iż pojawienie się dłuższego instrumentu - dziesięciolatki - niejako "przejmie" część obecnego spekulacyjnego zainteresowania obligacjami pięcioletnimi (najdłuższe obligacje OS handlowane są z pewną premią - w cenie - w stosunku do wartości wynikającej z teoretycznej krzywej SPOT), a co za tym idzie - cena rzeczywista może być wyższa niż 90,88;l wrażliwość ceny czystej na zmiany stóp SPOT, za pomocą których wyceniamy poszczególne przepływy, w przypadku tak długiego instrumentu jest bardzo duża;l nowi uczestnicy rynku (fundusze emerytalne) mogą zmienić jego charakter w tym sektorze krzywej do tego stopnia, iż obligacja dziesięcioletnia będzie traktowana jako zupełnie odrębny instrument, przez co sens prognozowania przyszłych SPOT-ów krzywą logarytmiczną stanie pod znakiem zapytania;l prognoza wysokości stóp procentowych w Polsce nastręcza polskiemu rynkowi wiele trudności (PARKIET, 25.02.1999 r., "Zaufać oczekiwaniom rynkowym?", Marcin H. Dec).Bacząc na te wszystkie ograniczenia, bezpiecznie jest stwierdzić, że rynek zakłada rentowność polskiej dziesięcioletniej obligacji o stałym oprocentowaniu (gdyby była ona obecnie wyemitowana) na poziomie ok. 8,5-9,5%.Podobnie można próbować stosować krzywą stóp natychmiastowych do wyceny innych obligacji, zarówno o stałym, jak i zmiennym kuponie.Wycena obligacji za pomocą krzywej SPOT jest tym efektywniejsza, im więcej istnieje mechanizmów arbitrażowych, dających możliwość wykorzystania różnic cenowych między poszczególnymi częściami rynku. Mam tu w szczególności na myśli istnienie rynku wydzielonych płatności kuponowych i przepływów kapitałowych z poszczególnych obligacji (takich jak np. na rynku amerykańskich papierów skarbowych - STRIPS) oraz możliwości pożyczania papierów skarbowych na zlecenie. Rynek polskich papierów skarbowych pod tym względem jest jeszcze mało zaawansowany, nie mniej jednak poznanie i wykorzystywanie metod tu opisanych może dostarczyć inwestorowi wielu ciekawych przemyśleń, zmusić do żmudnych wyliczeń, a zatem pomóc w zarządzaniu portfelem polskich papierów rządowych.
MARCIN H. DEC
Zarządzający portfelem papierów dłużnych BWE S.A.
