Rynek obligacji
Stopy natychmiastowe szeroko omówione w Parkiecie 10 marca 1999 r. (Stopy natychmiastowe w wycenie polskich obligacji, Marcin H. Dec)mogą być wykorzystywane na wiele sposobów w wycenie instrumentów finansowych. Poniższe opracowanie ma na celu przybliżenie innegoniż tradycyjne podejścia do wyceny obligacji rządowych o zmiennym kuponie, której wysokość zależy od kształtowania się rentownościinnych skarbowych papierów wartościowych.
Najważniejszym elementem w nowym podejściu do wyceny papierów jest stopa natychmiastowa (SPOT), czyli realna lub implikowana stopa zwrotu z obligacji o jednym przepływie gotówkowym, stanowiącym wartość nominalną tego instrumentu. Stopy natychmiastowe odpowiadające określonym (potrzebnym w wycenie) terminom w przyszłości można znaleźć przeprowadzając dokładne obliczenia dla tych właśnie punktów na osi czasu. W przypadku gdy terminy stóp natychmiastowych nie odpowiadają wymaganiom technicznym wyceny (np. gdy należy wycenić obligację z przepływami za 0,45; 1,45 i 2,45 lat od dziś, a dostępne na rynku papiery skarbowe pozwalają na obliczenie SPOT-ów działających na 1 rok, 2 lata i 3 lata), należy spróbować znaleźć zależność funkcyjną między terminem (w latach) a wartością SPOT. W efekcie otrzymujemy prosty wzór, który możemy stosować w wycenie.1Stopa natychmiastowa działa między chwilą obecną a pewnym terminem w przyszłości, natomiast stopa terminowa (FORWARD) - między dwoma momentami w przyszłości na osi czasu. Podobnie jak stopa SPOT, tak i FORWARD może być określona jako 1-, 2-, 3-letnia etc. Matematycznie określamy wysokość stopy terminowej w następujący sposób:gdzie:FWD(n, n + k) - to k-letnia stopa terminowa działająca między końcem roku n i roku n + k (np. FWD(2,3) to roczna stopa terminowa za dwa lata, a FWD(1,4) to trzyletnia stopa terminowa za rok);SPOT(n) - to n-letnia stopa natychmiastowa (obliczona zgodnie z metodą bootstraping lub inną, w wyniku której szacujemy zależność funkcyjną między wartością n a wysokością stopy SPOT).Aby w pełni zrozumieć użyteczność obliczeń stóp terminowych oraz całej struktury terminowej, prześledźmy poniższy przykład.Przykład 1Załóżmy, że krzywa stóp natychmiastowych w zakresie od jednego do pięciu lat jest malejąca i wygląda tak, jak na wykresie 1 oraz w tabeli 1 (kolumna 1 i 2).Wykres 1. Krzywa stóp natychmiastowychi wynikające z niej krzywestóp terminowychTabela 1Każdy kształt krzywej stóp SPOT zakłada pewną strukturę terminową stóp FWD. Korzystając ze wzoru 1 można obliczyć kilka krzywych terminowych np. FWD1, czyli krzywą stóp działających przez okres jednego roku, czy FWD2 - przez okres 2 lat. Wartości w kolumnie 3 tabeli 1 mówią nam, jakie roczne stopy terminowe implikuje obliczona (czy założona) wcześniej krzywa stóp SPOT. Wykonując taki szereg obliczeń oraz zakładając dodatkowo, że stopa SPOT(1) w mniejszym lub większym stopniu odpowiada rentowności 52-tygodniowych bonów skarbowych, dokonamy niejako prognozy kształtowania się zyskowności inwestycji w roczne bony w przyszłości, ponieważ stopa FWD(n, n + k) to właśnie implikowana stopa SPOT(k) za n lat.W konsekwencji, obliczając stopy dwu- i trzyletnie FWD (kolumna 4 i 5) oraz transponując wyniki, tak aby w każdej nowej kolumnie znalazła się implikowana krzywa stóp natychmiastowych za rok, dwa i trzy lata, otrzymujemy pełny obraz oczekiwań rynku co do kształtowania się całej struktury stóp w przyszłości. Wyniki obliczeń prezentuje Tabela 1 oraz Wykres 2.Wykres 2. Implikowany kształt krzywychstóp natychmiastowych w przyszłościUmiejętność odczytania przewidywań rynku oraz ich interpretacja jest trudną do przecenienia bronią w walce o ponad-przeciętne zyski w zarządzaniu portfelem papierów dłużnych. Poznaną strukturę terminową można wykorzystać na wiele sposobów:n do wyceny papierów w zmiennym kuponie zależnym od rentowności krótszych instrumentówn do prognoz stóp nominalnych, nachylenia krzywej SPOTn do wyceny "strategii" polegających na zajęciu kilku pozycji na rynku papierów skarbowych, a zmierzających do wykorzystania relatywnych zmian w poziomie stóp procentowych (między poszczególnymi punktami na osi czasu lub między różnymi instrumentami).Obliczenia z przykładu 1 prowadzą do poznania implikowanej (wynikającej z kształtu krzywej SPOT) struktury stóp. Jednak nie wszyscy uczestnicy rynku muszą się z nią zgadzać, a co za tym idzie, mogą wykorzystać swoje przewidywania co do kształtowania się stóp w przyszłości do wyliczenia kształtu zakładanej przez nich samych (a nie rynek jako całość) krzywej SPOT.W tym celu skorzystać należy z podstawowej własności stóp SPOT i FORWARD wynikającej wprost w ich definicji - a mianowicie z możliwości ich składania. Znając np.: SPOT(2) oraz FWD(2,3) można obliczyć SPOT(3):Jest to po prostu odwrócenie rozumowania, jakie byśmy przeprowadzili przy liczeniu stopy FWD(2,3).Przykład 2Załóżmy, że SPOT(1) = 12% (co jest zbliżone do obecnej sytuacji rynkowej), a inwestor prognozuje, że roczne stopy w przyszłości będą kształtowały się na następujących poziomach FWD(1,2) = 11%, FWD(2,3) = 8%, FWD(3,4) = 7%, FWD(4,5) = 6% (patrz: tabela 2).Obecna cena czysta obligacji pięcioletniej o stałym oprocentowaniu 10% płatnym co roku wynosi 101. Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: jaką pozycję powinien zająć inwestor, jeśli będzie postępować w zgodzie ze swoimi prognozami?Tabela 2Po pierwsze, musimy poznać wszystkie niezbędne do dyskontowania przepływów z obligacji stopy natychmiastowe, czyli SPOT(2), SPOT(3), SPOT(4), SPOT(5).Analogicznie do wzoru 2 obliczamy SPOT(2), używając SPOT(1) oraz prognozowanej stopy FWD(1,2):{[1 + SPOT(1)] × [1 + FWD(1,2)]}˝ - 1 = SPOT(2)czyli[(1 + 0,12) × (1+0,11)]˝ - 1 = 0,115a zatem zakładana przez inwestora dwuletnia stopa natychmiastowa wynosi 11,5%. Kontynuując wyliczenia otrzymamy kształt całej krzywej SPOT (patrz: tabela 2).Po drugie, musimy zdyskontować wszystkie przyszłe przepływy z inwestycji (są znane bez dodatkowych wyliczeń, ponieważ przykładowa obligacja ma stałe oprocentowanie). Suma tych wartości obecnych jest szacowaną przez inwestora ceną obligacji. W tym przykładzie wynosi ona 103,61 (patrz: tabela 3).Tabela 3Zatem inwestor, postępując zgodnie ze swoimi przewidywaniami, zajmie pozycję długą. Rachunek przeprowadzony w powyższym przykładzie zdecydowanie zmieni się, jeśli zmienimy zakładaną przez inwestora ścieżkę kształtowania się rocznej stopy SPOT w przyszłości. Jeśli przyjmiemy, że jest ona rosnąca [SPOT(1) = 12%, FWD(1,2) = 13%, FWD(2,3) = 14%, FWD(3,4) = 15%, FWD(4,5) = 16%] otrzymamy cenę równą 86,94, a jeśli inwestor uważa, że ścieżka ta będzie płaska [wszystkie stopy SPOT(1) w przyszłości = 12%], to cena omawianej obligacji będzie wynosić 92,79.Sceptyk może zapytać: jaka jest użyteczność przyjętych metod, skoro w zależności od zakładanych stóp otrzymujemy wyniki tak od siebie różne? Otóż, właśnie dzięki temu, że istnieje przynajmniej dwóch inwestorów mających różne opinie na temat kształtowania się stóp w przyszłości, dochodzi w ogóle do transakcji na rynku. Ceny rynkowe obligacji i bonów oraz wynikające z nich krzywe stóp natychmiastowych i zakładana struktura stóp terminowych są odzwierciedleniem wielu poglądów na temat przyszłych stóp. Im więcej uczestników rynku wie, co kryje się w kształcie krzywej SPOT, tym większa użyteczność wszystkich zawartych w tym opracowaniu obliczeń.W przypadku obligacji o zmiennym kuponie, zależnym od rentowności innych papierów skarbowych, wycena nieco się komplikuje i nie jest już tak prosta, jak w drugim punkcie przykładu 2.Na polskim rynku dostępne są dwa typy takich obligacji: trzyletnie (zależne od rentowności 13-tygodniowych bonów skarbowych, z kuponem płatnym kwartalnie) oraz dziesięcioletnie (zależne od rentowności 52-tygodniowych bonów, z kuponem płatnym co roku)2.Zanim spróbujemy wycenić polskie TZ-y i DZ-y, przypatrzmy się przykładom znakomicie ilustrującym zależności między kształtem krzywej SPOT, wartością kuponu, wartością i rodzajem premii odsetkowej a ceną instrumentu - hipotetycznej obligacji trzyletniej (tzw. floatera) o zmiennym kuponie płatnym rocznie (dalej: FLT3-A).Tabela 4 przedstawia wycenę przykładowej trzyletniej obligacji, której wysokość kuponu jest równa wartości SPOT(1) występującej tuż przed rozpoczęciem okresu kuponowego i nie jest modyfikowana premią odsetkową. Jak można się przekonać: Kształt krzywej SPOT nie wpływa na wycenę floatera bez premii odsetkowej w dniu zmiany kuponu (reset date). Cena takiej obligacji jest w tym momencie zawsze równa wartości nominalnej. (TW1).TABELA 4. WYCENA OBLIGACJI FLT3-ABEZ PREMII ODSETKOWEJW ZALEŻNOŚCI OD KSZTAŁTU KRZYWEJCF - przepływ gotówkowy (nominalny); DFC - przepływ zdyskontowany (wg odpowiedniej stopy SPOT)W rzeczywistości obligacje o zmiennym kuponie najczęściej "płacą" premię odsetkową, która jest wyrazem wielkości ryzyka związanego z emitentem lub emisją. Premia ta może być:l addytywna (znakomita większość floaterów taką posiada);l multiplikatywna.Premię addytywną po prostu dodaje się do stopy odniesienia, natomiast multiplikatywną mnoży się przez tę stopę.Jeśli wiarygodność kredytowa emitenta nie zmienia się i jest odzwierciedlana premią addytywną lub multiplikatywną to kształt krzywej SPOT nie wpływa na wycenę floatera w dniu zmiany kuponu, a cena pozostaje równa wartości nominalnej. (TW2)W wycenie takich obligacji przy dyskontowaniu przepływów stosujemy zmodyfikowane stopy natychmiastowe SPOTzm(n) (tzn. takie, które odzwierciedlają ryzyko kredytowe emitenta).SPOTzm(n) = SPOT(n) + premia addytywnalubSPOTzm(n) = SPOT(n) × premia multiplikatywnaW przeciwnym bowiem razie przepływy z obligacji z ryzykiem większym niż rządowe dyskontowalibyśmy stopami odpowiadającymi wiarygodności długu rządowego, co zawsze prowadziłoby do zawyżenia ceny.Na polskim rynku mamy do czynienia w ciekawymi pod względem takiej wyceny instrumentami. Obligacje TZ i DZ płacą bowiem premię ponad stopę odniesienia, a ich ryzyko kredytowe jest zbliżone do ryzyka obligacji o zbliżonym terminie zapadalności o stałym oprocentowaniu (OS). Dlaczego?Głównie dlatego, że rynek obligacji o zmiennym kuponie to zupełnie inny krąg uczestników i inne potrzeby (osoby fizyczne, krajowe instytucje finansowe i niefinansowe). Ma to wiele implikacji:l zdecydowanie mniejsze obroty rynku TZ i DZ w stosunku do największego i najpłynniejszego pozagiełdowego rynku obligacji OS, z których to wyliczaliśmy krzywą SPOT;l większe średnie opłaty prowizyjne dla uczestników.Ministerstwo Finansów zachęca do kupowania takich instrumentów "dając" premię addytywną 1% w przypadku obligacji dziesięcioletnich oraz multiplikatywną 1,05 w przypadku obligacji trzyletnich3. W rachunku opłacalności, która premia jest lepsza, należy brać pod uwagę następujące czynniki:l obecny poziom stóp procentowych;l częstotliwość kapitalizacji (kwartalna w przypadku obligacji trzyletnich);l przewidywania co do kształtowania się stóp w przyszłości, czyli kształt krzywej SPOT i wynikającą z niego strukturą terminową.Obecnie widać, że przy poziomie rocznych stóp procentowych ok. 12% premia addytywna w wysokości 1% powinna być więcej warta niż kapitalizowana kwartalnie premia 1,05 × stopa odniesienia.TABELA 5. WYCENA FLT3-A O WIARYGODNOŚCI PORÓWNYWALNEJ Z RZĄDOWĄZ PREMIAMI ODSETKOWYMIAby odkryć zależności między kształtem krzywej SPOT a wartością teraźniejszą premii, prześledźmy przykład - wycenę dwóch hipotetycznych obligacji FLT3-A o premii 1% oraz 1,1 (wartość pierwszego kuponu przy SPOT(1) = 10% jest taka sama) w Tabeli 5.Analiza wyników prowadzi do następującego stwierdzenia:Przy zachowaniu powyższych założeń premia addytywna jest warta więcej niż multiplikatywna w przypadku malejącej krzywej SPOT oraz mniej warta, gdy krzywa jest rosnąca. (TW3)Spróbujmy teraz wycenić rzeczywistą obligację DZ0109, czyniąc następujące założenia:l wycena na dzień 18.01.1999l krzywa SPOT opisana jest funkcjąSPOT(n) = -0,0092 × LN(n) + 0,1138l stopa SPOT(1) oraz stopy FWD(n, n+1) odpowiadają średnim rentownościom rocznych bonów będących stopą odniesienia dla wartości kuponu DZ0109l abstrahujemy od możliwości dokonania wcześniejszego wykupu przez emitental wartość pierwszego kuponu określa krzywa (w rzeczywistości wynosi ona dla pierwszego okresu kuponowego13,92%).Wyliczenie poszczególnych wartości SPOT od 1 do 10 nie powinno nastręczać kłopotów (po prostu wstawiamy do wzoru). Następnie wyliczamy roczne stopy terminowe, korzystając ze wzoru 1. Poznana struktura terminowa stóp SPOT i FORWARD pozwala nam zatem szacować wartość przyszłych przepływów z obligacji. Wystarczy dodać do stóp FORWARD 1% i całość pomnożyć przez 1000, aby otrzymać szacunkową wartość kuponu (patrz: tabela 6). Gdy teraz zdyskontujemy wszystkie przepływy otrzymamy wartość bieżącą, czyli szacunkową cenę - 1062,05!Wartość rynkowa w tym czasie wahała się między 100 a 101.Oznacza to w praktyce, że mało jest uczestników rynku, którzy wyceniają obligacje DZ krzywą SPOT i wynikającymi z niej FORWARD-ami. Owa premia za małą płynność rynku jeszcze kilka lat temu była dobrą wymówką do ignorowania tego typu wyceny. Przy poziomie stóp procentowych ok. 30-40% teoretyczna wartość obecna premii addytywnej dziesięcioletniej wynosiła ok. 24-30 per 1000 PLN, co można było uznać za wartość skłaniającą inwestorów do zakupów. Ale przy dzisiejszym poziomie stóp procentowych, kiedy premia wynosi ok. 60-65 per 1000 PLN, to wręcz okazja.Obligacja DZ0109 i wszystkie inne DZ i TZ to przecież obligacje rządowe, o takim samym ryzyku kredytowym jak OS. Teoretyczna wartość premii jest obecnie tylko w niewielkiej części wliczona w cenę, zatem można powiedzieć, że obligacje te są sprzedawane z 3-4% dyskontem w stosunku do ich wartości wynikającej z krzywej SPOT (wyliczonej z obligacji o stałym oprocentowaniu).Zajmijmy się innym polskim floaterem - obligacją trzyletnią. Załóżmy, że SPOT(0,25) oraz FWD(n, n + 0,25) odpowiada rentownościom bonów kwartalnych, co jest bliskie prawdzie, a w znaczącym stopniu ułatwia wycenę. Ponieważ przepływy odsetkowe w obligacjach trzyletnich następują cztery razy w roku, a wzór 1 zakłada w takich przypadkach kapitalizację, będziemy stosować zmodyfikowany wzór na stopę FORWARD:gdzie:k - okres odsetkowy, np. kwartalny (k = 0,25).Postępowanie takie jest niezbędne, ponieważ używanie stopy odniesienia będącej na przykład zwykłą stopą terminową FWD(1; 1,25) doprowadzi do zawyżenia wyceny (będziemy liczyli kilka razy te same zyski). Tabela 7 zawiera wyniki obliczeń kwartalnych stóp FWD i FWD* będących naszym odpowiednikiem stóp odniesienia dla kuponów z obligacji TZ (przy użyciu wcześniej opisanej krzywej SPOT). Z wartości stóp odniesienia obliczone dalej są zakładane stopy kuponowe oraz odpowiadające im wartości gotówkowych przepływów z tytułu posiadania obligacji. Istnienie premii (1,05 × stopa odniesienia) daje posiadaczowi ok. 11-16 groszy za każde 100 PLN wartości nominalnej przy każdej wypłacie kuponu. Wartość obecna wszystkich premii to 1,29 PLN per 100, co jest wynikiem mniej szokującym od wartości premii obligacji dziesięcioletniej. Niemniej jednak takie dyskonto za mniejszą płynność również warte jest uwagi inwestorów.Na koniec jeszcze jedna ważna uwaga. Wszystkie powyższe obliczenia dotyczą kilku tylko momentów z życia obligacji - rozpoczęcia kolejnych okresów odsetkowych. Modyfikacje związane z przesunięciem momentu wyceny do dnia "wewnątrz" okresu kuponowego prowadzą najczęściej do istotnych zmian wartości obligacji. Jeśli bowiem wiemy, że stopa kuponowa okresu odsetkowego kończącego się 5 maja br. większości obligacji TZ wynosi obecnie 14,41%, a miesięczna stopa SPOT ok. 12,5%, to sytuacja taka powinna wpłynąć na zwiększenie atrakcyjności tych instrumentów.Znajomość arytmetyki krzywej SPOT oraz struktury terminowej, a także bieżące śledzenie poszczególnych stóp może doprowadzić czasem od zaskakujących wniosków. Polski rynek nie jest we wszystkich jego częściach efektywny, co można z zyskiem wykorzystać. W końcu o to przecież chodzi.
MARCIN H. DEC
[email protected] Znalezienie zależności funkcyjnej poprzez maksymalizację współczynnika determinacji opisane w poprzedniej części jest sposobem bardzo łatwym i użytecznym dla inwestora wyposażonego w arkusz kalkulacyjny i podstawową wiedzę z matematyki finansowej.2 Dla uproszczenia, w obliczeniach dotyczących obligacji dziesięcioletnich nie uwzględniamy możliwości wcześniejszego (przed datą zapadalności) ich wykupu przez Ministra Finansów, co przewidują prospekty emisyjne.3 Ostatnia obligacja trzyletnia "płacąca" premię addytywną 1,1 × stopa odniesienia zapada 6 maja 1999 roku.
