Głównym celem badań, zrelacjonowanych w niniejszym artykule było testowanie klasycznychteorii portfelowych przy wykorzystaniu notowań na polskim rynku kapitałowym i określeniedoboru parametrów strategii inwestycyjnej, pozwalającej na maksymalizację stopy zwrotuz portfela akcji, spełniającego warunek optymalności w ujęciu Sharpe'a.
W powszechnym mniemaniu rynki wschodzące charakteryzują się słabą efektywnością, jednak autor nie napotkał dotychczas badań rynku polskiego przeprowadzonych pod tym kątem. W tym wypadku proces badawczy można potraktować jako specyficzną formę testu efektywności rynku. Pozytywne testowanie braku efektywności powinno polegać na możliwości realizacji portfeli, prowadzących do uzyskania w wystarczająco długim okresie wyników znacząco lepszych od portfela rynkowego. W ostatnim zdaniu pojawiają się dwa pojęcia aksjomatyczne, wywodzące się z klasycznych modeli, które, wymagają choćby zaznaczenia. Wystarczająco długi okres - niestety, jest trudny do wyznaczenia inaczej niż w sposób arbitralny. Jeśli przyjąć hipotezę o niezależności tego parametru od stopnia zaawansowania rozwoju danego rynku giełdowego i posiłkować się technikami R/S czy elliottowskimi należy przyjąć, iż wystarczająco długi okres nie powinien być krótszy od około czterech lat na dowolnym, a więc i polskim rynku.Drugie z pojęć aksjomatycznych, które musi zaakceptować analityk stosujący klasyczne modele portfelowe, to pojęcie portfela rynkowego. Stanowi on główną oś modelu, a jednocześnie jeden z najtrudniejszych do przyjęcia jego elementów. Portfel rynkowy bowiem to ogół możliwych do realizacji inwestycji w dostępne na danym rynku aktywa. Intuicyjnie jest to pojęcie proste; faktycznie sprawia trudności natury systemowej i technicznej. W ujęciu systemowym pojęcie portfela rynkowego napotyka przeszkodę porównywalną z problemem zupełności systemu logicznego. Mówiąc wprost portfel rynkowy jest elementem systemu, który sam definiuje. Oto krótki cytat [2] "Model jednowskaźnikowy przyjmuje, iż jedyną przyczyną fal wzrostów i spadków szerokich grup akcji jest zmienność stopy zwrotu z portfela rynkowego". Przytoczone stwierdzenie nosi cechy tautologii oraz zakłócenia związków przyczynowo skutkowych. Czytając podobne rzeczy odnoszę wrażenie, że cofnąłem się do czasów, kiedy fizycy dyskutowali o konieczności istnienia eteru - przecież bez niego nie mogły rozchodzić się fale elektromagnetyczne! Na nieszczęście dla fizyków, fale elektromagnetyczne nic o tym nie wiedziały i rozchodziły się. Pominięcie tej uwagi nie rozwiązuje problemu praktycznego oszacowania składu kompletnego portfela rynkowego, a co za tym idzie realizowanej na nim stopy zwrotu. Najczęściej stosuje się przybliżenie, polegające na założeniu, iż portfel rynkowy można estymować wybranym indeksem giełdowym. Autor nie jest przekonany, czy nawet w gospodarkach o wysokim poziomie alokacji aktywów poprzez rynek kapitałowy jest to założenie uprawnione. W Polsce, gdzie alokacja aktywności gospodarczej przez giełdę stanowi nikły procent obrotu gospodarczego w ogóle trudno się zgodzić z takim założeniem.Na potrzeby prezentowanego eksperymentu przyjęto roboczą hipotezę o poprawności modelu jednowskaźnikowego ignorując wszelkie zastrzeżenia zgłoszone wcześniej, a także wynikające z prac krytyków hipotezy efektywności rynku. Zadaniem autora było jedynie przetestowanie działania algorytmu, wyznaczającego portfel optymalny Sharpe'a na historycznych danych, pochodzących z polskiego rynku kapitałowego.Hipoteza roboczaAby bez żadnych dodatkowych zastrzeżeń przystąpić do eksperymentu, autor przyjął następujące założenia:1. Rynek jest efektywny ergo w długich okresach wszystkie jego parametry można opisać funkcjami ciągłymi - można więc do jego opisu stosować model jednowskaźnikowy.2. Parametry b akcji służące do wyznaczenia portfeli charakteryzują się stabilnością w czasie. Stabilność w czasie rozumieć należy jako możliwość opisu ewolucji czasowej tego parametru w kategoriach ciągłej funkcji mającej bądź ekstrema lokalne, bądź własność zbieżności asymptotycznej - b = f(t).3. Zachowanie portfela rynkowego jest reprezentowane z wystarczającym przybliżeniem przez indeks WIG.4. Moment wejścia na rynek nie ma wpływu na wyniki uzyskane w eksperymencie polegającym na realizowaniu procesu inwestycyjnego, jeżeli tylko okres inwestycji jest wystarczająco długi.Po przyjęciu powyższych założeń postawiono następującą hipotezę roboczą:Nie istnieje strategia inwestycyjna oparta na modelu jednowskaźnikowym, która długookresowo umożliwiałaby uzyskanie stopy zwrotu ze skonstruowanego portfela wyższej niż z rynku. Mogą istnieć, krótkookresowe strategie, dające taką możliwość jednak ich właściwością powinna być zbieżność do stopy zwrotu z portfela rynkowego opisana funkcją ciągłą.Teoretyczne założenia konstrukcjiportfela optymalnego wg modelu Sharpe'aPomijając opis modelu jednowskaźnikowego oraz jego założeń (są one dostępne w literaturze), dla jasności opisu eksperymentu należy jedynie przytoczyć definicję wskaźnika Sharpe'a efektywności inwestycji portfelowych. Wskaźnik, o którym mowa, jest powszechnie wykorzystywany do oceny efektywności prowadzonych inwestycji przez zarządzających aktywami w krajach o rozwiniętym rynku kapitałowym. Konstrukcja wskaźnika jest prosta - określony jest on wzorem:S = (Rp - Rf) : sRpgdzie,Rp - stopa zwrotu z portfelaRf - stopa zwrotu aktywów wolnych od ryzykasRp - zmienność stopy zwrotu z portfelaW algorytmie użytym w eksperymencie wskaźnik ten był maksymalizowany. Oczywiście w przypadku doświadczalnych próbek "zebranych" na rynku mamy do czynienia jedynie z estymatorem tego wskaźnika. Estymator wskaźnika efektywności Sharpe'a stanowił zatem cząstkowy wskaźnik jakości dla proponowanego eksperymentu.Opis metodyki badaniaParametry modeluDo badań zastosowano specjalistyczne oprogramowanie umożliwiające generowanie testów efektywności inwestycji, polegających na stworzeniu tzw. pęku ścieżek inwestycyjnych. Dla zdefiniowania tego pojęcia należy wcześniej określić pojęcie ścieżki inwestycyjnej, posiadającej następującą charakterystykę:l określone zostają parametry rozpoczęcia ts i zakończenia testu tz. Przyporządkowuje się im liczby równe liczbie sesji upływających od dnia najodleglejszej w czasie sesji branej pod uwagę w serii eksperymentów. Sesją tą była pierwsza sesja stycznia roku 1994 (3.01.94);l określony zostaje okres On przetrzymywania portfela, gdzie indeks n określa liczbę sesji, jakie upływają od zakupu do sprzedaży portfela akcji;l określa się czas nullm, jaki upływa do następnej inwestycji, gdzie indeks m określa liczbę sesji między sprzedażą portfela a ponownym zakupem;l wyznacza się horyzont Hb dla wyliczenia estymatora współczynnika b;l zdeterminowany zostaje sposób R k {A,G} wyliczania stopy zwrotu z akcji, gdzie indeks k oznacza liczbę sesji branych pod uwagę przy wyznaczaniu estymatora stopy zwrotu z akcji, a drugi indeks określa sposób jego wyliczenia - wartość oczekiwana arytmetyczna (A) lub geometryczna (G).Tak zdefiniowana ścieżka inwestycyjna jest ciągiem {D0,D1,...,Dj} elementarnych decyzji obejmujących jeden przebieg algorytmu wyznaczenia optymalnego portfela Sharpe'a na odcinku On. Oczywiście decyzja D0 dotyczy odcinka czasowego (ts, ts + on), decyzja D1 odcinka (ts + on + nullm, ts + 2 × on + nullm) itd., aż do momentu, kiedy koniec kolejnego j-tego przedziału czasowego będzie równy lub większy od parametru tz.Przyjmując powyższe oznaczenia powiemy, iż następujący zapis:Ve = [ts, tz, Hb, On, nullm, Rk [A,G]]definiuje wektor zmiennych stanu, odpowiedź układu Se = f (Ve) na zadane parametrami wektora wymuszenie opisane parą {Ve,Se} definiuje w sposób jednoznaczny punkt w przestrzeni rozwiązań - jedną ścieżkę inwestycyjną. W wyniku odpowiedzi na wymuszenie algorytm realizował określoną w przedziale czasu (ts,tz) elementarną strategię inwestycyjną nazwaną ścieżką inwestycyjną.Przykładowo zapis: Ve = [0,1250,20,25,0,5A] oznacza, że elementarna strategia inwestycyjna była realizowana w przedziale czasowym 3.01.94-6.04.99, współczynnik b wyznaczano z historycznych notowań obejmujących 20 sesji, portfel przetrzymywano 25 sesji, po czym sprzedawano i na tej samej sesji kupowano kolejny, zaś stopa zwrotu z akcji, służąca do wyznaczenia parametrów modelu była pięciosesyjną stopą zwrotu z akcji estymowaną średnią arytmetyczną. Ponieważ w całym eksperymencie współczynnik nullm pozostawał stały (wynosił 0), możemy uprościć nasz zapis, opuszczając tę zmienną stanu.Odwzorowywaliśmy więc wektor stanu na zbiór możliwych do realizacji Se.Se = f (Ve|null = const) = f ({ts, tz, Hb, On, Rk[A,G]})Test polegał na kolejnym przechodzeniu punktów w tak zdefiniowanej przestrzeni stanów w kolejności pozwalającej na utworzenie pęków ścieżek inwestycyjnych. Pierwszy krok algorytmu powodował przechodzenie punktów w przestrzeni stanów opisanych następująco:Se = f ({ts, tz, const, On, Rk[A,G})Po tak zrealizowanym przebiegu następowała zmiana horyzontu Hb wyznaczania b. Zbiór wszystkich ścieżek inwestycyjnych, dla których następowała jedynie zmiana zmiennej Hb, a pozostałe zmienne były stałe, nazywamy pękiem ścieżek inwestycyjnych lub w skrócie pękiem. Możemy to zapisać następująco:Pe = Se(Hb)|ts,tz,On,Rk [A,G] = constW eksperymencie autor przyjął dość szeroki przedział wyznaczania tego współczynnika od 20 sesji (około miesiąca) do 250 sesji (blisko rok). Teoretycznie estymator współczynnika b powinien być niewrażliwy na okres próbkowania. Przez pojęcie niewrażliwości należy rozumieć zależności dające się opisać funkcjami ciągłymi w czasie. W rzeczywistości można obserwować na polskim rynku dużą zależność jego wartości od horyzontu próbkowania. Przejście 230 ścieżek inwestycyjnych zamykało jeden pęk. Następnie przemieszczano się na osi czasu o jedną sesję t's = ts + 1 i realizowano następny pęk złożony z 230 ścieżek inwestycyjnych. W eksperymencie głównym każda ze ścieżek inwestycyjnych była wynikiem realizacji 50 elementarnych decyzji j = (tz - ts) : on = (1250 - 0) : 25 opartych na optymalizacji pojedynczego portfela realizowanego w podstawowej jednostce czasu. Łącznie w badanym okresie algorytm dokonał 19 × 230 × 50, tj. 218,5 tys. optymalizacji portfela elementarnego.W zaplanowanym eksperymencie mieliśmy do czynienia z kilkunastoma pękami. Niestety, nie stanowią one obszaru ciągłego na osi czasu, bowiem z niewiadomych dla autora przyczyn algorytm w udostępnionym programie nie akceptował wszystkich dat ts przy ustalonych pozostałych parametrach - w tym wypadku o25.Dla sprawdzenia stabilności przyjętych parametrów wykonano test stwierdzający istnienie "chaosu" w dynamice rynku (rys. 1 i 2). Wykazał on, że nawet niewielka zmiana parametrów wejściowych przeradza się po długim okresie w znaczącą różnicę odpowiedzi układu. Przeprowadzenie eksperymentu zasadniczego miało polegać na wyznaczeniu wszystkich 25 pęków ścieżek inwestycyjnych różniących się datą sesji startowej. Ponieważ okres przetrzymywania miał wynosić 25 sesji, było oczywiste, że kolejne pęki będą jedynie prostymi transformacjami odpowiednich pęków z pozycji P0 - P25.Wskaźnik jakościWskaźnikiem jakości dla tak prowadzonego procesu optymalizacyjnego była skumulowana stopa zwrotu ze zrealizowanych na ścieżce inwestycyjnej elementarnych portfeli inwestycyjnych na odcinku czasowym od stycznia 1994 r. do kwietnia 1999 r. Okres wcześniejszy został celowo pominięty jako "niereprezentatywny" (mała liczba sesji, niewielka liczba akcji, "superhossa" roku 1993). Okres badania został dobrany tak, aby objąć jeszcze globalne maksimum WIG-u w marcu 1994 r., po którym nastąpiła jego blisko 70-proc. deprecjacja.Omówienie uzyskanych wynikówUzyskane wyniki fragmentarycznie (z racji ogromu danych) prezentuje tabela 1. Nawet pobieżna analiza danych pokazuje, że hipoteza robocza nie została potwierdzona.W badanym okresie było możliwe zrealizowanie ponadnormatywnych, wyższych od portfela rynkowego, stóp zwrotu przy wykorzystaniu algorytmu doboru akcji do portfela wykorzystującego jednowskaźnikowy model Sharpe'a.Do innych ciekawych zjawisk, jakie zaobserwowano w tak przeprowadzonym eksperymencie, można zaliczyć:- ewidentną cykliczność wpływu parametru Hb na realizowane stopy zwrotu z portfeli - tego typu teza będzie wymagała dalszych badań, choć powstawanie położonych dalej "odległych maksimów" trudno potwierdzić z powodu szczupłości historii WGPW (rys. 3, 4, 5);- wyraźny, choć wymagający dalszej obróbki (analiza R/S), efekt "chaosu" (rys. 1, 2);- paradoks "odwróconej statystyki".O ile występowanie dwóch pierwszych zjawisk jest prawie oczywiste i ich badanie powinno polegać na odpowiednio zaplanowanym i przeprowadzonym eksperymencie, o tyle zjawisko ostatnie wymaga rozważań teoretycznych. Pod pojęciem "odwróconej statystyki" rozumiem efekt uzyskiwania coraz gorszych stóp zwrotu z pojedynczej ścieżki inwestycyjnej wraz z wydłużaniem horyzontu Hb, chociaż efekt ten, jak już wcześniej przedstawiono, jest zakłócony nałożeniem się przebiegu o charakterze cyklicznym. Jest to o tyle paradoksalne, że wraz z wydłużaniem się okresu wyznaczania współczynnika b jego estymator powinien, w świetle centralnego twierdzenia granicznego, być coraz lepszy. Paradoksalnie więc strategia inwestycyjna oparta na modelu Sharpe'a dała najlepsze wyniki inwestycyjne na WGPW wtedy, kiedy model nie spełniał swoich własnych założeń. Dlaczego tak się działo? Tak postawione pytanie daje asumpt do dalszych badań. Odrębne, absolutnie już pragmatyczne, pytanie może brzmieć następująco; gdzie w tym obszarze umiejscowić wyniki uzyskiwane przez funkcjonujące na polskim rynku zespoły zarządzające aktywami, czy to w towarzystwach funduszy powierniczych, czy też w domach maklerskich. Są one po prostu mizerne albo - stosując terminologię szkolną - mierne. Inną sprawą jest dyskusja na temat możliwości praktycznego wdrożenia takiego systemu inwestycyjnego w zespołach zarządzających aktywami. Teoria efektywnego rynku mówi wszak, że arbitraż nie jest na dłuższą metę możliwy. Jeśli wszyscy graliby tak samo, to co by się stało? Jak to jest z tym rynkiem: jest efektywny, czy nie? Jest to pytanie z serii, co by się stało z krokodylem, który zaczął zjadać własny ogon.
Krzysztof Zator
Poznań 28.05.99
Bibliografia
